通过参数化方法求解二维与四维映射的同宿点

固体物理中的一个有趣问题是计算 $\mathcal{N}$ 个耦合的一维哈密顿粒子链中的离散呼吸子解，并研究其相互作用的丰富性。实现这一目标的一种方法是计算一类 $2\mathcal{N}$ 维可逆映射原点处鞍点的不变流形的同宿交集。本文中，我们应用参数化方法将这些流形解析地表示为级数展开，并数值高精度计算它们的交集。我们首先对一个二维（2-D）广义 Hénon 映射族（$\mathcal{N}$=1）执行此过程，证明在无耗散情况下双曲集的存在，并表明它直接关联到原点处同宿轨道的存在。引入耗散后，我们证明会发生同宿正切（homoclinic tangency），超过该点同宿交集消失。进而对于 $\mathcal{N}=2$，我们使用相同方法确定由两条耦合的二维三次 Hénon 映射构成的四维映射原点处鞍点不变流形的同宿交集。依赖于耦合强度，确定了同宿交集，一旦存在一定量的耗散，它便不复存在。我们讨论了我们的结果在具有最近邻相互作用和 Klein-Gordon 在位势的两条线性耦合一维粒子链中离散呼吸子研究中的应用。