交换Banach代数上复流形的全纯微分形式及若干相关问题

设$A$为交换Banach代数。设$M$为$A$上的复流形（一个$A$-流形）。于是，我们在$M$上定义一个$A$-全纯向量丛$(\wedge^kT^*)(M)$。对于$M$的开集$U$，$\omega$被称为$U$上的$A$-全纯微分$k$-形式，若$\omega$是$(\wedge^kT^*)(M)$在$U$上的$A$-全纯截面。因此，若$U$上所有$A$-全纯微分$k$-形式的集合记为$\Omega_{M}^k(U)$，则$\{\Omega_{M}^k(U)\}_{U}$是$A$-流形$M$的结构层$O_M$上的模层，且以$\{\Omega_{M}^k(U)\}_{U}$为系数层的上同调群$H^l(M,\Omega_{M}^k)$是$O_M(M)$-模，从而特别地是$A$-模。我们对全纯微分形式的定义并无新意。然而，这是为使上同调群$H^l(M,\Omega_{M}^k)$成为$A$-模所必需的。此外，我们试图定义局部为$\mathbb C$-流形连续族（以及解析族）的流形的结构层。着眼于$\mathbb C$-流形的有限族，我们提及了Dolbeault定理对$\mathbb C$-流形连续和成立的可能性。同时，我们陈述了若干相关问题。其中之一是如下。设$n\in \mathbb N$。则是否存在一个$\mathbb C^n$-流形$N$，使得对任意$\mathbb C$-流形$M_1, M_2, \cdots, M_{n-1}$与$M_n$，$N$都不能作为$\mathbb C^n$-流形嵌入到直积$M_1\times M_2 \times \cdots \times M_{n-1} \times M_n$中？为此，我们提出了某个很可能是此类$\mathbb C^2$-流形$N$候选的对象。