Hofer-Zehnder 容量与哈密顿圆作用

我们引入辛流形 $(M,\om)$ 关于子群 $G \subset \pi_1(M)$ 的 Hofer-Zehnder $G$-半容量 $c_{HZ}^G(M,\om)$（$c_{HZ}(M,\om) \leq c^G_{HZ}(M,\om)$），并证明：若 $(M,\om)$ 是 tame 的，且存在开子集 $U \subset M$ 容许阶大于二的哈密顿自由圆作用，则由该作用轨道生成的子群 $G \subset \pi_1(M)$ 满足 $(M,\om)$ 的有理指数足够大时（例如若 $[\om]|_{\pi_2(M)}=0$），$U$ 具有有界的 Hofer-Zehnder $G$-半容量。我们给出此结果的诸多应用。利用 P. Biran 的分解定理，我们证明如下：设 $(M^{2n},\Om)$ 为闭 K\"ahler 流形（$n>2$），满足 $[\Om] \in H^2(M,\Z)$，$\Sigma$ 为表示 $k[\Om]$ 的 Poincar\'e 对偶的复超曲面，其中某 $k \in \N$。假设要么 $\Om$ 在 $\pi_2(\Sigma)$ 上为零，要么 $k>2$。则 $M\setminus\Sigma$ 可分解为一个具有有限 Hofer-Zehnder 容量的开稠密连通子集与一个各向同性 CW-复形。此外，我们证明若 $(M,\Sigma)$ 为次临界的，则 $M\setminus\Sigma$ 具有有限 Hofer-Zehnder 容量。我们还证明：给定双曲曲面 $M$，并在 $TM$ 上赋予扭曲辛形式 $\om_0 + \pi^*\Om$（其中 $\Om$ 为 $M$ 上的面积形式），则由动能为 $k$ 的超曲面减去零截面 $M_0$ 所围定义域的 Hofer-Zehnder $G$-半容量在 $k\leq 1/2$ 时为有限，其中 $G \subset \pi_1(TM\setminus M_0)$ 为由 $SM$ 的纤维生成的子群。