高阶 Nielsen 数

设 X, Y 为流形，f, g: X→Y 为映射。著名的重合点问题研究重合点集 C={x: f(x)=g(x)}。数 m=dimX-dimY 称为该问题的余维数。更一般的是原像问题。对映射 f: X→Z 及 Z 的子流形 Y，它研究原像集 C={x: f(x)∈Y}，其余维数为 m=dimX+dimY-dimZ。在余维数为 0 的情形，经典的 Nielsen 数 N(f,Y) 是 C 中在 f 的同伦下不变的点数的一个下估计，而对任意余维数，则是 C 的连通分支数的下估计。我们将此理论推广以考虑 C 的其他拓扑特征。目标是求得 C 的 p 阶 bordism 群 Omega_p(C) 的一个“下估计”。答案是如下定义的 Nielsen 群 S_p(f,Y)。在经典定义中，基于道路的 C 中点的 Nielsen 等价被替换为基于配边的 C 中奇异子流形的等价。令 S_p'(f,Y) 为 Omega_p(C) 关于此等价关系的商群，则 p 阶 Nielsen 群是该群在同伦下保持不变的部分。p 阶 Nielsen 数 N_p(f,Y) 是该群的秩(于是 N(f,Y)=N_0(f,Y))。这些数是重合点与原始像可去性的新障碍。文中给出了若干例子与计算。