重合与次级 Nielsen 数

设 f₁, f₂ : X^m → Y^n 为光滑连通流形之间的映射，其维数分别为 m 和 n。能否通过同伦将 f₁, f₂ 变形为无重合的映射（即对所有 x ∈ X，f₁(x) ≠ f₂(x)）？解决此类问题的主要传统工具是（初级）Nielsen 数 N(f₁, f₂)。例如，当 m < 2n − 2 时，上述问题有肯定答案当且仅当 N(f₁, f₂) = 0。然而，当 m = 2n − 2 时，这可能完全错误，例如在不动点情形 m = n = 2。此外，在非常特定的设定下，Kervaire 不变量作为一个（完全的）额外障碍出现。在本文中，我们开始探索一种相当一般的新方法。这导出了次级 Nielsen 数 SecN(f₁, f₂)，它允许我们回答上述问题，例如当 m = 2n − 2、n ≠ 2 为偶数且 Y 单连通时。