Costa 熵幂不等式中的高阶导数

设 $X$ 为任意连续随机变量，$Z$ 为均值为零、方差为单位的独立高斯随机变量。对于 $t~>~0$，Costa 证明了 $e^{2h(X+\sqrt{t}Z)}$ 关于 $t$ 是凹的，其证明依赖于 $h(X+\sqrt{t}Z)$ 的一阶和二阶导数。具体而言，这两个导数是定号的，即 $\frac{\partial}{\partial t}h(X+\sqrt{t}Z) \geq 0$ 且 $\frac{\partial^2}{\partial t^2}h(X+\sqrt{t}Z) \leq 0$。在本文中，我们证明了 $h(X+\sqrt{t}Z)$ 的三阶导数是非负的，这意味着 Fisher 信息 $J(X+\sqrt{t}Z)$ 关于 $t$ 是凸的。我们进一步证明了 $h(X+\sqrt{t}Z)$ 的四阶导数是非正的。继前四阶导数之后，我们就 $h(X+\sqrt{t}Z)$ 提出两个猜想：第一个是若 $n$ 为奇数，则 $\frac{\partial^n}{\partial t^n} h(X+\sqrt{t}Z)$ 关于 $t$ 非负，否则非正；第二个是 $\log J(X+\sqrt{t}Z)$ 关于 $t$ 是凸的。第一个猜想可以在完全单调函数的背景下重述：$J(X+\sqrt{t}Z)$ 关于 $t$ 是完全单调的。第一个猜想的历史可追溯至 McKean 在 1966 年研究的一个数学物理问题。除了这些结果外，我们还对保协方差变换提供了几何解释，并研究了 $h(\sqrt{t}X+\sqrt{1-t}Z)$ 的凹性，揭示了其与 Costa 熵幂不等式（EPI）的联系。