用半定规划证明 Costa 熵功率不等式及微分熵的高阶不等式

Costa 熵功率不等式是 Shannon 熵功率不等式的一个重要推广。与 Costa 熵功率不等式及 McKean 于 1966 年提出的一个猜想相关，Cheng-Geng 最近猜想 $D(m,n): (-1)^{m+1}(\partial^m/\partial^m t)H(X_t)\ge0$，其中 $X_t$ 是 Costa 熵功率不等式中的 $n$ 维随机变量，$H(X_t)$ 是 $X_t$ 的微分熵。$D(1,n)$ 和 $D(2,n)$ 已由 Costa 作为 Costa 熵功率不等式的推论证明。Cheng-Geng 证明了 $D(3,1)$ 和 $D(4,1)$。在本文中，我们提出了一种基于半定规划的系统化程序来证明 $D(m,n)$ 和 Costa 熵功率不等式。利用基于此程序的软件包，我们证明了 $D(3,n)$ 对于 $n=2,3,4$ 的情况，并给出了 Costa 熵功率不等式的一个新证明。我们还表明，在目前已知的约束条件下，$D(5,1)$ 和 $D(4,2)$ 无法用该程序证明。