和与积的熵加性能量与熵不等式

在过去 15 年中，越来越多的研究通过加性组合的思想和工具建立了熵不等式。继这些研究之后，在本工作中，我们获得了关于连续随机变量的和、积以及和积组合的微分熵的一些新界。部分受 Goh 关于“加性能量”离散熵版本的近期工作的启发，我们引入了成对连续随机变量的加性能量，并证明了“加性能量大当且仅当和的熵小”这一陈述的多个版本，以及微分熵的 Balog-Szemerédi-Gowers 定理的一个版本。然后，部分受 Máté 和 O'Regan 近期工作的启发，我们为连续随机变量的积与和积组合建立了一系列新的微分熵不等式。特别地，我们证明了一个新的、一般的环 Plünnecke-Ruzsa 熵不等式。我们简要回到离散熵的情况，并对具有“大倍增”的离散随机变量提供了刻画，类似于 Tao 针对小倍增情况的 Freiman 型逆和集理论。最后，我们考虑了整数值随机变量的 Erdős-Szemerédi 和积现象的自然熵类比。我们表明，如果它确实成立，那么其成立的参数范围必然比预期的组合对应物要受限得多。