高阶 Otto 微积分方法论及高斯完全单调猜想

高斯完全单调（GCM）猜想指出在 $\mathbb{R}^d$ 上的热流沿熵的 $m$ 次时间导数在 $m$ 为偶数时为正，在 $m$ 为奇数时为负。我们在初始测度为对数凹函数的前提下，证实了 GCM 猜想至 $m=5$ 的情况，适用于任意维数。我们的方法与 GCM 猜想的以往方法有显著不同：它基于 Otto 微积分，基于将热流解释为熵的 Wasserstein 梯度流。我们方法的关键在于观察到，对概率测度在 $\mathbb{R}^d$ 上的对流导数表现为平坦联络。在此基础上，我们在 Wasserstein 空间上证实了单变量 Faa di Bruno 公式的一个形式（尽管该空间为曲面），并我们计算了内部能函数（包括熵）的高阶 Wasserstein 微分，这些都是独有兴趣的。