熵的导数与MMSE猜想

我们研究概率测度$\mu$沿热流的熵$H(\mu,t)$，更精确地，我们寻求其导数的闭式代数表示。在$\mu$具有任意阶矩的前提下，[Guo et al., 2010]确证$t\mapsto H(\mu,t)$是光滑的，且[Ledoux, 2016]表明其在零处的导数可表示为在$\mu$的矩(或累积量)上求值的多元多项式。在开创性贡献\cite{Led}中，这些代数表达式通过$\Gamma$-演算技术导出，该技术为这些多项式提供了隐式递推公式。我们的主要贡献在于对这些归纳关系进行精细的组合分析，并首次推导出这些多项式表达式前导系数的闭式公式。基于这些显式公式，我们重新审视[Guo et al., 2010]中所谓的“MMSE猜想”，其断言实线上两个沿热流具有相同熵的分布必在平移与对称下重合。我们的方法使我们能提供关于源分布的新条件以确保MMSE猜想成立，并改进[Ledoux, 2016]中证明的若干判据。作为示例，我们的发现涵盖均匀分布与Rademacher分布的情形，此前文献中的结果对此并不适用。