哈密顿流熵的一个估计

在本文中，我们将Ballmann与Wojtkovski在\cite{BaWoEnGeo}中对于非正截面曲率的紧黎曼流形上测地流的动力熵所证得的估计，推广到辛流形上的哈密顿流。给定这样一个黎曼流形$M$，Ballmann与Wojtkovski证明了$M$上测地流的动力熵$h_{\mu}$满足如下不等式：$$h_{\mu} \geq \int_{SM} \traccia \sqrt{-K(v)} d\mu(v),$$ \noindent 其中$v$是$T_pM$中的单位向量，若$p$是$M$中一点，$SM$是$M$上的单位切丛，$K(v)$定义为$K(v) = \mathcal{R}(\cdot,v)v$，其中$\mathcal{R}$为$M$的黎曼曲率，$\mu$是$SM$上的归一化Liouville测度。我们考虑维数为$2n$的辛流形$M$，以及$M$上由哈密顿函数的正则水平集给出的紧子流形$N$；此外我们考虑$N$上秩为$n-1$的光滑Lagrangian分布，并假设哈密顿向量场$\vec h$的约化曲率$\hat{R}_z^h$非正。则我们证明在这些假设下，相对于$N$上归一化Liouville测度的哈密顿流的动力熵$h_{\mu}$满足：h_{\mu} \geq \int_N \traccia \sqrt{-\hat{R}_z^h} d\mu.