p-调和函数的局部梯度估计、1/H 流及一个熵公式

在本文第一部分，我们证明了一般黎曼流形上 p-调和函数的局部内部和边界梯度估计。利用这些估计，遵循 R. Moser 近期工作的策略，我们证明了在满足尖锐体积增长假设的环境流形中，超曲面 1/H（逆平均曲率）流的水平集公式弱解的存在性定理。在本文第二部分，我们考虑了 p-Laplace 方程的两个抛物型类比，并证明了在非负 Ricci 曲率流形上，这些方程正解的尖锐 Li-Yau 型梯度估计。对于其中一个方程，我们还证明了一个熵单调性公式，推广了第二作者此前针对线性热方程得出的此类公式。作为该公式的一个应用，我们表明具有非负 Ricci 曲率和尖锐 $L^p$-对数 Sobolev 不等式的完备黎曼流形必等距同构于欧几里得空间。