非可分离图遇见 Ledoux 多项式

在 groundbreaking 文章 \cite{LED16} 中，建立了在满足适当矩条件下，对概率测度在热流中的熵导数的积分表示。这些积分表示在 diverse 领域中发挥了重要作用——尤其是在信息论中（例如熵功不等式、Fisher 信息的单调性）以及在估计理论中（通过熵导数与高斯信道中最小均方误差（MMSE）之间的联系）。这些表示涉及多元多项式 $(R_n)_n$，源自多线性算子上的 Lie 代数框架。尽管这些多项式在本领域中占据核心地位，但其组合结构仍只部分被理解。本文中，我们证明了 $R_n$ 中单项式的数量恰好等于度数序列的数量，这些序列的度数之和为 $2n$ 且具有非可分离图实现，从而解决了来自 \cite{MPS24} 的猜想，并在两个领域之间建立了有趣的联系。