图的线性组合矩阵的不可约多项式
组合数学
2026-04-07 v1
摘要
本文聚焦于由图的度矩阵与邻接矩阵组成的线性组合矩阵的不可约多项式研究。首先，通过应用一般图的顶点定向概念，我们给出了图的线性组合矩阵的不可约多项式系数的组合解释，并刻画了这些系数的界。这些界隐式地包含了 Chan 和 Lam 关于树和二部图的已有结果。此外，我们给出了 Merris 所提出开放问题的解。其次，我们刻画了钩型不可约多项式的前六个系数，并证明了两个正则图的线性组合矩阵具有相同钩型不可约多项式的充要条件。第三，我们将 Frobenius–König 定理和 Laplace 展开定理推广至不可约式。利用这两个定理，我们证明了图的星度始终是其线性组合矩阵的不可约多项式某一根的重数的下界。最后，我们推导了几类重要图矩阵的钩型不可约多项式的前六个系数的公式。
引用
@article{arxiv.2604.04489,
title = {Immanantal polynomials of the linear combination matrices of graphs},
author = {Xiangshuai Dong and Tingzeng Wu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.04489},
year = {2026}
}