图和 (反)图的线性组合矩阵的钩型仿谱等式及其应用

设 $\chi_\lambda$ 为对称群 $S_n$ 的不可约字符。对于 $n \times n$ 矩阵 $M = (m_{ij})$，定义其对应的仿谱 $M$ 为\n\begin{eqnarray*} d_\lambda(M) = \sum_{\sigma \in S_n} \chi_\lambda(\sigma) \prod_{i=1}^n m_{i\sigma(i)}. \end{eqnarray*}\n对于 $\lambda = (k, 1^{n-k})$，仿谱 $d_{(k, 1^{n-k})}(M)$ 称为钩型仿谱，记为 $d_k(M)$。矩阵 $M$ 的钩型仿谱多项式定义为 $d_{k}(xI_n - M)$，其中 $I_n$ 为 $n \times n$ 单位矩阵。设 $G$ 和 $\overrightarrow{G}$ 为图和有向图。若 $D(G)$ 和 $A(G)$（或 $D(\overrightarrow{G})$ 和 $A(\overrightarrow{G})$）分别为 $G$（或 $\overrightarrow{G}$）的度矩阵和邻接矩阵。本文我们给出矩阵 $\beta D(G)+\gamma A(G)$ 和 $\beta D(\overrightarrow{G})+\gamma A(\overrightarrow{G})$ 两个线性组合的两个钩型仿谱等式，其中 $\beta$ 和 $\gamma$ 为实数。作为应用，我们推导了图矩阵的钩型仿谱多项式和钩型仿谱的递推公式。