混合图的 Hermitian 邻接矩阵的符号等价性

令 $0 \in \Gamma$ 且 $\Gamma \setminus \{0\}$ 为模长为 1 的复数群的一个子群。定义 $\mathcal{H}_{n}(\Gamma)$ 为所有 $n\times n$ 的、元素属于 $\Gamma$ 且对角元为零的 Hermitian 矩阵的集合。矩阵 $A,B\in \mathcal{H}_{n}(\Gamma)$ 若存在一个对角矩阵 $D$（其对角元属于 $\Gamma \setminus \{0\}$）使得 $D^{-1} A D=B$，则称它们是符号等价的。我们给出了 $\mathcal{H}_{n}(\Gamma)$ 中矩阵符号等价性的一个刻画，用图的基本圈表示。我们给出刻画 $\mathcal{H}_{n}(\Gamma)$ 中同谱矩阵的充分条件。我们找到了具有相同基础图的所有混合图的符号等价类数量的界。我们还提供了混合圈的所有符号等价类的大小，并给出一个计算混合平面图的符号等价类大小的公式。我们还讨论了图的 automorphism 群在 $\mathcal{H}_{n}(\Gamma)$ 中矩阵的符号等价类上的作用。