混合图的第二类 Hermite 邻接矩阵

本文借助 Mohar \cite{0001} 引入的混合图的第二类 Hermite 邻接矩阵（简称 $N$-矩阵）对其谱进行了广泛研究。该矩阵由混合图的顶点索引，对应于从 $u$ 到 $v$ 的弧的条目等于六次单位根 $\omega=\frac{1+{\bf i}\sqrt{3}}{2}$（其对称条目为 $\bar{\omega}=\frac{1-{\bf i}\sqrt{3}}{2}$）；对应于无向边的条目等于 1，否则为 0。本文的主要结果包括：给出了与其基础图共享相同 $N$-矩阵谱的混合图的等价条件。建立了谱半径的紧上界并确定了相应的极混合图。讨论了称为双向与三向切换的运算——它们产生一些余谱混合图。我们提取了所有 $N$-矩阵秩为 $2$（相应地 $3$）的混合图。此外，我们证明：若 $M_G$ 是秩为 $2$ 的连通混合图，则 $M_G$ 与每个与之余谱的连通混合图切换等价。然而，这对于某些秩为 $3$ 的连通混合图不成立。我们确定了所有 $N$-矩阵特征值位于区间 $(-\alpha,\, \alpha)$ 内（其中 $\alpha\in\left\{\sqrt{2},\,\sqrt{3},\,2\right\}$）的混合图。