考克斯特群、戴金图与$SL(2,\mathbb{C})$有限子群上的交换图

对于一个群$H$和非空子集$\Gamma\subseteq H$，交换图$G=\mathcal{C}(H,\Gamma)$是以$\Gamma$为节点集的图，若$x,y \in \Gamma$在$H$中交换，则它们由一条边连接。我们证明了任意简单图都可以作为考克斯特群的交换图得到，从而解决了此框架下的可实现性问题。特别地，我们可以恢复每个ADE类型的戴金图作为交换图。得益于ADE分类与$\SL(2,\C)$有限子群之间的关系，我们能够根据相应考克斯特群的生成元重新表述来自{\em McKay对应}的结果。我们在文末研究了对于每个有限子群$H\subset\SL(2,\C)$在不同子集$\Gamma\subseteq H$下的交换图$\mathcal{C}(H,\Gamma)$，并探讨了当$\Gamma=H$时它们的度量性质。