具有小亏格的有限群交换图的刻画

在本文中，我们首先证明在所有双环面和三环面有限图中，只有 $K_8 \sqcup 9K_1$、$K_8 \sqcup 5K_2$、$K_8 \sqcup 3K_4$、$K_8 \sqcup 9K_3$、$K_8\sqcup 9(K_1 \vee 3K_2)$、$3K_6$ 和 $3K_6 \sqcup 4K_4 \sqcup 6K_2$ 可以实现为有限群的交换图。作为我们结果的推论，我们还证明了对于任何有限非阿贝尔群 $G$，如果 $G$ 的交换图（记为 $\Gamma_c(G)$）是双环面或三环面的，则 $\Gamma_c(G)$ 及其补图满足 Hansen-Vuki{\v{c}}evi{\'c} 猜想和 E-LE 猜想。在此过程中，我们发现了一个非完全图，即群 $(\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3) \rtimes Q_8$ 的非交换图，它是超能图。这为 Gutman 关于超能图的猜想提供了一个新的反例。