关于无向图和有向图第二反伴多项式的边缘重构

设 $M=(m_{ij})$ 为一个 $n\times n$ 矩阵。矩阵 $M$ 的第二反伴多项式定义为 \begin{eqnarray*} d_{2}(M)=\sum_{\sigma\in S_{n}}\chi_{2}(\sigma)\prod_{s=1}^{n}m_{s\sigma(s)}, \end{eqnarray*} 其中 $\chi_{2}$ 为 $S_{n}$ 对应分区 $(2^{1},1^{n-2})$ 的不可约字符。矩阵 $M$ 的多项式 $d_{2}(xI-M)$ 称为矩阵 $M$ 的第二反伴多项式。记 $D(G)$（或 $D(\overrightarrow{G})$）和 $A(G)$（或 $A(\overrightarrow{G})$）分别为无向图 $G$（或有向图 $\overrightarrow{G}$）的顶点度数对角矩阵和邻接矩阵。在本文中，我们证明了 $d_{2}(xI-A(G))$（或 $d_{2}(xI-A(\overrightarrow{G}))$）可以从所有子图在 $\{G-uv,G-u-v|uv\in E(G)\}$（或 $\{\overrightarrow{G}-e|e\in E(\overrightarrow{G})\}$）的邻接矩阵第二反伴多项式中重构。此外，多项式 $d_{2}(xI-D(\overrightarrow{G})\pm A(\overrightarrow{G}))$ 也可通过所有子图在 $\{\overrightarrow{G}-e|e\in E(\overrightarrow{G})\}$ 的（无标志）拉普拉斯矩阵的第二反伴多项式进行重构。