圈图匹配多项式可交换性的一个新[组合]证明

我们证明了一些涉及路图和圈图的（经典）匹配多项式与圈图的 $d$-匹配多项式的函数方程。图 $G$ 中的一个匹配是指一组边，其中任意两条边不共享顶点，$G$ 的匹配多项式是编码 $G$ 中各种大小匹配数的生成函数。$d$-匹配多项式是 $d$ 次覆盖的匹配多项式的加权平均，由 Hall、Puder 和 Sawin 的一篇论文引入。令 $\mathcal{C}_n$ 和 $\mathcal{P}_n$ 分别表示 $n$ 个顶点的圈图和路图的匹配多项式，令 $\mathcal{C}_{n,d}$ 表示圈 $C_n$ 的 $d$-匹配多项式。我们给出纯组合证明：$\mathcal{C}_k (\mathcal{C}_n (x)) = \mathcal{C}_{kn} (x)$，并由此证明 Hall 提出的一个猜想：即 $\mathcal{C}_{n,d} (x) = \mathcal{P}_d (\mathcal{C}_n (x))$。