多项式的几何组合学 I：单多项式情形

对于具有互异根复多项式，人们可以赋予许多不同的代数、几何与组合对象。在本文中，我们引入一个新对象，它编码了文献中先前出现的许多既有对象。具体地，对于每一个具有 $d$ 个互异根且次数至少为 2 的复多项式 $p$，我们构造一个典范紧平面 2-复形，它是平铺相图的紧度量版本。它带有一个局部 CAT(0) 度量，在由 $p$ 的临界点所索引的有限内部点集之外为局部欧氏，且其每个 2-胞腔均为度量矩形。由该平面矩形 2-复形，可利用称为度量仙人掌与度量榕树（metric cacti and metric banyans）的度量图读出若干组合数据：划分格中的一条链、一个 d-循环的循环分解、一个实不交叠划分（亦称本原 d-major），以及该多项式的单值置换。本文为系列文章的第一篇。