单纯复形中的哈密顿与伪哈密顿圈及填充

我们引入并研究了图中哈密顿圈的 $d$ 维推广——$K_n^d$（大小为 $n$ 的顶点集上的完全单纯 $d$-复形）中的哈密顿 $d$-圈。它们是具有完全秩的简单 $d$-圈，或等价地，大小为 $1 + {{n-1} \choose d}$。讨论限于域 $F_2$ 和 $Q$。对于 $d=2$，我们刻画了存在哈密顿 $2$-圈的 $n$。对于 $d=3$，证明了存在哈密顿 $3$-圈的 $n$ 有无穷多个。一般地，证明了总存在大小为 ${{n-1} \choose d} - O(n^{d-3})$ 的简单 $d$-圈。上述结果均为构造性的。我们的方法自然推广到（且事实上涉及）$d$-填充，推广了图中的 $T$-连接概念。给定 $(d-1)$-圈 $Z^{d-1} \in K_n^d$，$F$ 是其 $d$-填充若 $\partial F = Z^{d-1}$。若 $d$-填充是无环且具完全秩，或等价地大小为 ${{n-1} \choose d}$，则称其为哈密顿的。若 $F_2$ 上的哈密顿 $d$-圈 $Z$ 包含一个 $d$-单形 $\sigma$，则 $Z\setminus \sigma$ 是 $\partial \sigma$ 的哈密顿 $d$-填充（$Q$ 上的圈也有一密切相关事实）。因此，这两个概念紧密相关。上述关于哈密顿 $d$-圈的大部分结果对哈密顿 $d$-填充也成立。