超树的边界与单纯复形中的哈密顿圈

$[n]$ 上的 $d$-超树是在顶点集 $[n]$ 上具完整 $(d-1)$-骨架的极大无环 $d$ 维单纯复形。换言之，用代数拓扑的语言，它是（假定完整 $(d-1)$-骨架的）极小 $d$ 维单纯复形 $T$，使得 $\tilde{H}_{d-1}(T;\mathbb{F})=0$。$d$-超树是单纯复形组合理论中的基本对象。虽已有研究，但其许多结构方面仍知之甚少。本文研究 $d$-超树的边界 $\partial_d T$，以及由它们定义的基 $d$-圈。我们的发现包括：1. 对 $d \leq 2$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上给出 $\partial_d T$ 的完整刻画，并对 $d \geq 3$ 给出部分结果。2. $[n]$ 上最大简单 $d$-圈的最大尺寸的下界。特别地，对 $d=2$，我们构造了 $[n]$ 上的一个哈密顿 $d$-圈 $H$，即大小为 ${{n-1} \choose d} + 1$ 的简单 $d$-圈。对 $d\geq 3$，我们构造了大小为 ${{n-1} \choose d} - O(n^{d-2})$ 的简单 $d$-圈。3. 观察到在 $[n]$ 上的树（$1$-超树）中均匀随机选取两顶点的期望距离最大值至多为 $\thicksim n/3$，且在哈密顿路径上达到，我们提出关于 $d$-超树的类似问题。“$d$-超树 $T$ 的基圈的平均大小可以多大（即向 $T$ 均匀随机加入一个 $[n]$ 上的 $d$-单形所产生的依赖关系的期望大小）？”对每个 $d \in \mathbb{N}$，我们构造一族无穷多的 $d$-超树 $\{T\}$，其基圈平均大小至少为 $c_d\, |T| \,=\, c_d\,{n-1 \choose d}$，其中 $c_d$ 为仅依赖于维数 $d$ 的常数。