多项式映射的模空间与小周期乘子

固定整数 $d \geq 2$。次数为 $d$ 的多项式映射构成的空间 $\mathcal{P}_{d}$ 在仿射变换下的共轭等价类自然地是一个维数为 $d -1$ 的域。对于每个整数 $P \geq 1$，周期为 $p \in \{1, \dotsc, P\}$ 的所有乘子的初等对称函数诱导了在 $\mathcal{P}_{d}$ 上定义的自然态射 $\operatorname{Mult}_{d}^{(P)}$。本文表明，由周期为 $1$ 和 $2$ 的乘子诱导的态射 $\operatorname{Mult}_{d}^{(2)}$ 在其像上既是有限的，也是双射。对于多项式映射，这一结果加强了 McMullen 和 Ji、Xie 关于当 $P$ 足够大时 $\operatorname{Mult}_{d}^{(P)}$ 是准有限且双射的陈述。我们的结果源于以下两个声明的结合: $\mathord{\bullet}$ 具有周期为 $1$ 和 $2$ 的乘子受限的复数次数为 $d$ 的多项式序列必然在 $\mathcal{P}_{d}(\mathbb{C})$ 中有界。 $\mathord{\bullet}$ 次数为 $d$ 的复数多项式的一般共轭类仅由其周期为 $1$ 和 $2$ 的乘子唯一确定。