模型丝状群中的共轭子长度

有限生成群 $\Gamma$ 的共轭子长度函数给出了 $\Gamma$ 的 Cayley 图中半径为 $n$ 的球内任意一对共轭元素的最短共轭子长度的最优上界。我们证明任意次数的多项式均可作为有限展示群的共轭子长度函数。为证明这一点，我们分析了离散模型丝状群 $\Gamma_d = \mathbb{Z}^d\rtimes_\phi\mathbb{Z}$ 中的共轭几何，其中 $\phi$ 是 $\mathbb{Z}^d$ 的自同构，它固定基 $a_1,\dots,a_d$ 的最后一个元素，并将 $a_i$ 映射为 $a_ia_{i+1}$（对于 $i<d$）。$\Gamma_d$ 的共轭子长度函数是 $d$ 次多项式。