Diestel-Leader群的度量性质

本文研究了群Γ_d(q)的度量性质，其Cayley图关于给定生成集S_{d,q}是Diestel-Leader图DL_d(q)。这些群提供了灯谜群族的几何推广，灯谜群关于某个生成集的Cayley图是Diestel-Leader图DL_2(q)。Bartholdi, Neuhauser和Woess在\cite{BNW}中证明，对于d≥3，Γ_d(q)是F_{d-1}型但不是F_d型。我们下面证明，这些群关于生成集S_{d,q}具有任意深度的死胡同元素，以及无限多个锥类型，因此没有测地线的正则语言。这些结果是通过一个组合公式证明的，该公式用于计算群元素关于S_{d,q}的词长，该公式也在本文中证明，并依赖于Diestel-Leader图的几何性质。