由 Cayley 着色图诱导度量的生成群几何

设 $G$ 为一个群，$S$ 为 $G$ 的一个生成集。本文在 $G$ 上关于 $S$ 引入一个度量 $d_C$，称为基数度量（cardinal metric）。随后我们比较 $(G, d_C)$ 与 $(G, d_W)$ 的几何结构，其中 $d_W$ 表示字度量（word metric）。特别地，我们证明若 $S$ 有限，则当 $(G, d_W)$ 具有无限直径时 $(G, d_C)$ 与 $(G, d_W)$ 不拟等距（quasi-isometric），否则它们为双 Lipschitz 等价（bi-Lipschitz equivalent）。我们还利用 Cayley 着色图给出了基数度量的另一种描述。结果表明，Cayley 有向图的换色自同构与保色自同构关于基数度量为等距映射。