有限生成离散群及对偶量子群的量子等距群

我们研究了由相对于对称生成集 $S$ 的字长度量导出的有限生成离散群 $\Gamma$ 的 $C^*_r(\Gamma)$ 上谱三元组的量子等距群，记为 $\mathbb{Q}(\Gamma, S)$。我们首先证明了关于 $\mathbb{Q}(\Gamma, S)$ 的几个一般性结果，包括：\begin{itemize} \item 对于具有多项式增长性质的群 $\Gamma$，若 $\mathbb{Q}(\Gamma,S)$ 在 $C^*_r(\Gamma)$ 上的作用具有满谱，则 $\mathbb{Q}(\Gamma, S)$ 的对偶也具有多项式增长性质；\item 对于任何阿贝尔群 $\Gamma$，有 $\mathbb{Q}(\Gamma, S) \cong QISO(\hat{\Gamma}, d)$，其中 $d$ 是对偶紧阿贝尔群 $\hat{\Gamma}$ 上的适当度量。\end{itemize} 随后，我们对几类示例进行了 $\mathbb{Q}(\Gamma,S)$ 的显式计算，包括循环群的自由积和直积、Baumslag-Solitar 群、Coxeter 群等。特别地，我们计算了所有不含形如 $\mathbb{Z}_2^k$ 或 $\mathbb{Z}_4^l$ 因子（针对某些 $k,l$）的有限生成阿贝尔群的量子等距群，这些群在分解为循环子群的直积时不包含上述因子。