几何假设下带 Hessian 驱动阻尼的惯性动力学的快速收敛

一阶优化算法可视为常微分方程（ODEs）的离散化 \cite{su2014differential}。在此视角下，研究相应轨迹的性质可导出可迁移至数值格式的收敛结果。本文我们分析 Attouch 等人在 \cite{attouch2016fast} 引入的如下 ODE：\begin{equation*} \forall t\geqslant t_0,~\ddot{x}(t)+\frac{\alpha}{t}\dot{x}(t)+\beta H_F(x(t))\dot{x}(t)+\nabla F(x(t))=0,\end{equation*} 其中 $\alpha>0$、$\beta>0$，$H_F$ 表示 $F$ 的 Hessian。如 \cite{attouch2020first,attouch2021convergence} 所示，该 ODE 可用于构建不要求 $F$ 二次可微的数值格式。在 $F$ 的某些几何假设（如极小点集合周围的二次增长）下，我们给出了误差 $F(x(t))-F^*$ 的强收敛结果以及 $\|\nabla F(x(t))\|$ 的可积性性质。特别地，我们证明强凸函数的误差衰减率为任意 $\varepsilon>0$ 时的 $O(t^{-\alpha-\varepsilon})$。文末对这些结果作了简要说明。