凸优化中的快速惯性动力学与 FISTA 算法：扰动方面

在 Hilbert 空间 $\mathcal H$ 框架下，我们研究二阶微分方程 $\ddot{x}(t) + \frac{\alpha}{t} \dot{x}(t) + \nabla \Phi (x(t)) = g(t)$ 的轨迹当 $t \to + \infty$ 时的快速收敛性质，其中 $\nabla\Phi$ 是凸且连续可微函数 $\Phi: \mathcal H \to \mathbb R$ 的梯度，$\alpha$ 是正参数，$g: [t_0, + \infty[ \rightarrow \mathcal H$ 是“小”扰动项。在此阻尼惯性系统中，粘性阻尼系数 $\frac{\alpha}{t}$ 渐近消失，但不过快。对于 $\alpha \geq 3$ 且 $\int_{t_0}^{+\infty} t \|g(t)\| dt < + \infty$，仅假设解集非空，我们证明上述系统的任何轨迹满足快速收敛性质 $\Phi(x(t))- \min_{\mathcal H}\Phi \leq \frac{C}{t^2}$。对于 $\alpha > 3$，我们证明任何轨迹弱收敛到 $\Phi$ 的一个极小点，并在多种实际情形下证明了强收敛性质。这补充了 Su-Boyd-Candès 和 Attouch-Peypouquet-Redont 在无扰动情形 $g=0$ 下得到的结果。对该系统时间离散化版本的平行研究为 Nesterov 型算法中误差或扰动的影响提供了新的见解。我们得到了 Chambolle-Dossal 和 Su-Boyd-Candès 最近考虑的 FISTA 变体的扰动版本的值快速收敛性和轨迹收敛性。