分数阶纳森动力学用于凸优化

我们提出并分析了一类用于连续时间优化的二阶动力系统，包含分数阶梯度项。该系统表达式为：\begin{equation} \ddot{x}(t) + \frac{\alpha}{t}\dot{x}(t) + \nabla^{\theta} f(x(t)) = 0, \end{equation}其中$\theta \in (1,2)$，分数阶算子按Caputo、Riemann--Liouville和Gr"unwald--Letnikov导数解释。该表述在分数动力学的记忆效应和更高阶阻尼机制之间进行插值，从而将经典纳森加速流扩展到分数域。我们分析的重点是$\alpha \leq 3$的情形，特别是临界情况$\alpha = 3$，此时普通纳森流无法保证收敛。我们证明在分数阶情况下仍可建立收敛性，分数梯度项提供的稳定效应抵消了边缘阻尼的限制。这凸显了分数动力学克服经典二阶流基本限制的能力。我们通过引入分数阶Opol-type引理和Lyapunov记忆函数，构建此类系统的收敛分析框架。在凸函数情况下，证明轨迹向最小损失值收敛，功能值的渐近衰减。对于强凸函数，获得显式收敛速率，优于标准二阶流。