面向单调连续算子零点的高阶动力学 with slow vanishing damping

在本文中，我们通过一个具有形式为 $1/t^{r}$（其中 $r\in [0, 1]$）的阻尼项的二阶动力学系统来求解连续单调算子的零点问题。该系统包含沿轨迹计算的算子导数的项，这种当支配算子来自势函数时会导致赫尔曼式阻尼。系统中还包含满足特定增长条件的时间重缩放参数 $\beta(t)$。我们推导出对算子沿生成轨迹范数的 $o\left(\frac{1}{t^{2r}\beta(t)}\right)$ 收敛速率，以及用于衡量相关变分不等式最优性的间隙函数。参数 $r$ 进入 $\beta(t)$ 的增长条件中：当 $r < 1$ 时，阻尼 $1/t^{r}$ 的消失速度慢于 Nesterov 的 $1/t$ 阻尼；在这种情况下，我们可以选择 $\beta(t)$ 为指数函数，从而获得相关数量的线性收敛速率。我们还证明了轨迹对支配算子的零点进行弱收敛。通过对特定算子，我们建立了求解光滑凸函数带线性约束的最小化问题的联系。我们在算子问题中推导的收敛速率传递给在轨迹上评估的目标函数值以及可行性间隙。我们还证明了轨迹对该问题的原始-对偶解进行弱收敛。对该动力学系统进行离散化可得到一个隐式算法，其连续型的收敛性质与之类似。我们通过两个数值实验来补充理论发现。