涉及惯性与多尺度特征的类梯度动力系统的渐近行为

在希尔伯特空间 $\mathcal H$ 中，我们研究了随时间变量 $t$ 趋于 $+\infty$ 时，涉及惯性和多尺度特征的非自治类梯度动力系统的渐近行为。给定一般希尔伯特空间 $\mathcal H$，两个凸可微函数 $\Phi: \mathcal H \rightarrow \mathbb R$ 和 $\Psi: \mathcal H \rightarrow \mathbb R$，$\gamma$ 为正阻尼参数，$\epsilon (t)$ 为随 $t$ 趋于 $+\infty$ 而趋于零的 $t$ 的函数，我们考虑二阶微分方程 $$\ddot{x}(t) + \gamma \dot{x}(t) + \nabla \Phi (x(t)) + \epsilon (t) \nabla \Psi (x(t)) = 0.$$ 该系统建模了博弈论中各种集体行为的涌现，以及耦合非线性振荡器的渐近控制。假设 $\epsilon(t)$ 随 $t$ 趋于无穷时以中等缓慢速度趋于零，我们证明轨迹在 $\mathcal H$ 中弱收敛。极限平衡是分层极小化问题的解，该问题由在 $\Phi$ 极小元集合 $C$ 上极小化 $\Psi$ 构成。作为关键假设，我们假定 $\int_{0}^{+\infty}\epsilon (t) dt = + \infty$ 并且对于属于依赖于数据 $\Phi$ 和 $\Psi$ 的凸锥 $\mathcal C$ 的每个 $p$， $$\int_{0}^{+\infty} \left[\Phi^* \left(\epsilon (t)p\right) -\sigma_C \left(\epsilon (t)p\right)\right]dt < + \infty$$ 其中 $\Phi^*$ 是 $\Phi$ 的 Fenchel 共轭，$\sigma_C$ 是 $C$ 的支撑函数。给出了一个耦合振荡器的应用。