具有渐消粘性的惯性类梯度系统的快速收敛性

在实希尔伯特空间 $\mathcal H$ 中，我们研究二阶演化方程 $$\ddot{x}(t) + \frac{\alpha}{t} \dot{x}(t) + \nabla \Phi (x(t)) = 0$$ 的轨迹当 $t \to + \infty$ 时的快速收敛性质，其中 $\nabla \Phi$ 是凸且连续可微函数 $\Phi : \mathcal H \rightarrow \mathbb R$ 的梯度，$\alpha$ 是一个正参数。在该惯性系统中，粘性阻尼系数 $\frac{\alpha}{t}$ 以一种温和的方式渐近消失。对于 $\alpha > 3$，我们证明，仅假设极小点集非空，任何轨迹都弱收敛到 $\Phi$ 的一个极小点。在各种实际情形下建立了强收敛性。这些结果补充了 Su、Boyd 和 Candès 得到的函数值 $\mathcal O(t^{-2})$ 收敛速率。该系统及其某些变体的时间离散化提供了新的快速收敛算法，拓展了由 Nesterov 引入、并由 Beck 和 Teboulle 进一步发展的结构化凸优化快速方法领域。本研究也补充了 Chambolle 和 Dossal 的最新进展。