关于高斯混合的熵与信息

我们建立了中心化高斯分布混合的熵与费雪信息（Fisher information）的若干凸性性质。首先，我们证明若 $X_1, X_2$ 为独立标量高斯混合，则 $\sqrt{t}X_1 + \sqrt{1-t}X_2$ 的熵在 $t \in [0,1]$ 上凹，从而确认了 Ball、Nayar 与 Tkocz（2016）对这类随机变量的猜想。事实上，我们证明了该断言的一个推广，同时也强化了 Eskenazis、Nayar 与 Tkocz（2018）的结果。对于费雪信息，我们通过证明费雪信息矩阵作为作用在 $\mathbb{R}^d$ 中混合密度上的矩阵值函数是算子凸的，推广了 Bobkov（2022）的凸性结果。作为一个应用，在温和矩假设下，我们给出了沿中心极限定理的加权独立同分布高斯混合之和的费雪信息矩阵在算子范数下收敛的速率。