Wishart 律的随机化与 Fisher 信息

考虑 $\R^n$ 中协方差矩阵为 $\Sigma$ 的零均值高斯向量 $X$。随机化 $\Sigma$ 使得 $\Sigma^{-1}$ 具有形状参数 $p>(n-1)/2$ 且均值为 $p\sigma$ 的 Wishart 分布。我们计算 $X$ 的密度 $f_{p,\sigma}$ 以及当 $\sigma$ 为参数时模型 $(f_{p,\sigma})$ 的 Fisher 信息 $I_p(\sigma)$。为使用 Cramér-Rao 不等式，我们还计算 $I_p(\sigma)$ 的逆。本注记的重要之处在于该逆是对称矩阵空间上两个简单算子的线性组合，即 $\P(\sigma)(s)=\sigma s \sigma$ 与 $(\sigma\otimes \sigma)(s)=\sigma \, \mathrm{trace}(\sigma s)$。Fisher 信息本身是 $\P(\sigma^{-1})$ 与 $\sigma^{-1}\otimes \sigma^{-1}$ 的线性组合。最后，通过对 $\sigma$ 本身随机化，我们由 Van Trees 不等式明确给出 $\sigma$ 估计量二阶矩的下界：此处结果中再次出现 $\P(u)$ 与 $u\otimes u$ 的线性组合。