随机正交矩阵的Fisher信息由高斯矩阵近似

设${\Gamma}_n$为$n\times n$的Haar不变正交矩阵。设${ Z}_n$为${\Gamma}_n$的左上$p\times q$子矩阵，${G}_n$为$p\times q$矩阵，其$pq$个元素为独立标准正态分布，其中$p$和$q$为两个正整数。设$\mathcal{L}(\sqrt{n} {Z}_n)$和$\mathcal{L}({G}_n)$分别为$\sqrt{n} {Z}_n$和${G}_n$的联合分布。考虑$\mathcal{L}(\sqrt{n} {Z}_n)$和$\mathcal{L}({G}_n)$之间的Fisher信息 $I(\mathcal{L}(\sqrt{n} {Z}_n)|\mathcal{L}(G_n))$。本文我们得出结论，当$pq=o(n)$时，$I(\mathcal{L}(\sqrt{n} {Z}_n)|\mathcal{L}(G_n))\longrightarrow 0$，而当$c=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{pq}{n}\in(0, +\infty)$时，则不趋于零。精确地，我们得到当$p=o(n)$时，$I(\mathcal{L}(\sqrt{n} {Z}_n)|\mathcal{L}(G_n))=\frac{p^2q(q+1)}{4n^2}(1+o(1))$。