从Rényi相对熵推导量子Fisher信息矩阵

量子Fisher信息的推广在量子信息科学中具有重要意义，应用于高能物理、凝聚态物理以及量子估计理论、机器学习和优化领域。一种自然的方式是通过在光滑散度的Taylor展开中出现的Hessian矩阵来推导量子Fisher信息矩阵的推广。鉴于散度在量子信息论中的普遍性，这种方法对量子信息理论家具有吸引力。与经典情形不同，量子Fisher信息矩阵的推广并不唯一，类似于相对熵或Rényi相对熵的量子推广并不唯一。在本文中，我推导了源于log-Euclidean、α-z和几何Rényi相对熵的信息矩阵，其主要技术工具是利用差分法计算矩阵导数。有趣的是，对于Rényi参数α的所有非负值，log-Euclidean Rényi相对熵导出了Kubo-Mori信息矩阵，几何Rényi相对熵导出了右对数导数Fisher信息矩阵。因此，所得信息矩阵即使在原始量不满足的情况下，也对所有非负Rényi参数α满足数据处理不等式。此外，我推导并建立了由α-z Rényi相对熵导出的α-z信息矩阵的基本性质。对于参数化热态和时间演化态，我建立了其α-z信息矩阵的公式以及用于估计它们的混合量子-经典算法，其应用包括量子Boltzmann机学习。