典型正交矩阵中有多少项可用独立正态变量近似？

我们解决了 Diaconis 的一个公开问题：求最大的 $p_n$ 和 $q_n$ 的阶，使得 $Z_n$（均匀分布于正交群 O(n) 上的随机矩阵 $\boldsymbol{\Gamma}_n$ 的 $p_n\times q_n$ 左上块）可以用独立标准正态变量近似？该问题通过两种不同的近似方法解决。首先，我们证明只要 $p_n=o(\sqrt{n})$ 且 $q_n=o(\sqrt{n})$，$Z_n$ 的诸项联合分布与 $p_nq_n$ 个独立标准正态变量的联合分布的变距离趋于零。我们还证明，若对任一正数 $x$ 和 $y$ 取 $p_n=[x\sqrt{n} ]$ 且 $q_n=[y\sqrt{n} ]$，则上述变距离不趋于零。这说明在上述近似意义下 $p_n$ 和 $q_n$ 的最大阶为 $o(n^{1/2})$。其次，设 $\boldsymbol{\Gamma}_n=(\gamma_{ij})_{n\times n}$ 是对 $\bold{Y}_n=(y_{ij})_{n\times n}$ 的列执行 Gram--Schmidt 算法所得，其中 $\{y_{ij};1\leq i,j\leq n\}$ 为独立同分布的标准正态变量。我们证明只要 $m=m_n=o(n/\log n)$，就有 $\epsilon_n(m):=\max_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}|\sqrt{n}\cdot\gamma_{ij}-y_{ij}|$ 依概率趋于零。我们还证明当对任一 $\alpha>0$ 取 $m_n=[n\alpha/\log n]$ 时，$\epsilon_n(m_n)\to 2\sqrt{\alpha}$ 依概率成立。这说明 $m_n=o(n/\log n)$ 是使得 $\boldsymbol{\Gamma}_n$ 前 $m_n$ 列的诸项可同时用独立标准正态变量近似的最大阶。