避免直角与特定汉明距离

本文证明了 $\mathbb{F}_q^n$ 中避免直角（即互异向量 $x,y,z$ 满足 $x-z$ 与 $y-z$ 相互垂直）的子集的最大可能大小为至多 $O(n^{q-2})$。这改进了 Naslund \cite{Naslund} 此前已知的最佳上界，并反驳了 Ge 与 Shangguan \cite{Ge} 的一个猜想。同时给出了 $n^{q/3}$ 的下界。本文还表明，$\mathbb{F}_q^n$ 中避免全为直角的三角形的子集大小至多为 $O(n^{2q-2})$。此外，对于使得任意互异 $x,y\in A$ 均有 $x-y$ 不自正交的子集 $A\subseteq \mathbb{F}_q^n$，给出了其最大可能大小的渐近紧界；并在 $q=3$ 且 $n\equiv 2\pmod {3}$ 时确定了精确答案。我们的方法也可用于界定二进制码的最大可能大小，其中任意两个码字的汉明距离均不被固定素数 $q$ 整除。我们的下界与上界均为渐近紧的，且在无穷多种情形下均为精确。