具有费雪信息率的有限样本对称均值估计

未知方差-$\sigma^2$ 分布 $f$ 的均值可从 $n$ 个样本中以方差 $\frac{\sigma^2}{n}$ 及近乎相应的亚高斯速率估计。当 $f$ 仅知平移时，渐近地可改进为 $\frac{1}{n\mathcal I}$，其中 $\mathcal I$ 为分布的费雪信息。对一般未知 $f$ 这样的改进不可能，但 [Stone, 1975] 表明若 $f$ 关于其均值 $\textit{对称}$，该渐近收敛 $\textit{是}$ 可能的。然而 Stone 的界是渐近的：收敛所需的 $n$ 以未指定的方式依赖于分布 $f$ 和失败概率 $\delta$。本文中我们给出了对称均值估计关于费雪信息的有限样本保证。对每个 $n > \log \frac{1}{\delta}$ 的 $f, n, \delta$，我们得到接近方差为 $\frac{1}{n \mathcal I_r}$ 的亚高斯的收敛，其中 $\mathcal I_r$ 为平滑半径为 $r$ 的 $r$-$\textit{平滑}$ 费雪信息，$r$ 随 $n$ 多项式衰减。此界基本匹配已知-$f$ 设定下的有限样本保证。