高维 Wishart 矩阵中的熵中心极限定理与相变

我们考虑高维 Wishart 矩阵 $\mathbb{X} \mathbb{X}^{\top}$，其中 $\mathbb{X} \in {\mathbb{R}^{n \times d}}$ 的条目独立同分布于对数凹分布。我们证明了一种信息论意义上的相变：当且仅当 $d$ 远大于 $n^3$ 时，此类矩阵在总变差距离上接近于相应的高斯系综。我们的证明基于熵，利用了相对熵的链式法则以及 Wishart 系综定义中的递归结构。该证明关键依赖于 Fisher 信息与熵之间的著名关系、Fisher 信息的变分表示、随机矩阵谱范数的集中界，以及对数凹测度的某些小球概率估计。