Wishart 矩阵的 De Finetti 型结果：组合结构与相变

近期一系列工作研究了 Wishart 矩阵 $X^\top X$（其中 $X\in \mathbb{R}^{d\times n}$ 具有独立同分布标准高斯项）与对应对角线上方为独立项的高斯矩阵之间的关系。Jiang 和 Li（2015）以及 Bubeck 等人（2016）表明，当 $d/n^3\to \infty$ 时，这两类矩阵系综在总变差意义上收敛，且 Bubeck 等人（2016）证明该界限是紧的。本文旨在确定 Wishart 矩阵子集在总变差意义上收敛到独立高斯时，$d$ 关于 $n$ 的精确阈值。结果表明，所揭示项被视为图 $G$ 的邻接矩阵的组合结构刻画了其与完全独立的距离。具体而言，我们证明 $d$ 的阈值依赖于 $G$ 中各类小子图的数量。因此，即使揭示项数量固定，阈值也会因其配置而剧烈变化。掩码 Wishart 到独立高斯的收敛因而本质上涉及概率与组合现象的相互作用。我们的结果确定了大类 $G$（包括所有 $p\gtrsim n^{-2}\mathrm{polylog}(n)$ 的 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图 $G\sim \mathcal{G}(n,p)$）的紧阈值。我们的证明技术兼具组合与信息论方法，二者共同使我们能细致厘清掩码 Wishart 系综中的依赖关系。