具有混沌元素的 Large 相关 Wishart 矩阵的极限行为

我们研究了当 $d,n\to \infty$ 时,与具有非高斯元素的 $n\times d$ 随机矩阵 $\mathcal{X}_{n,d}$ 相关联的 Wishart 矩阵 $\mathcal{W}_{n,d}= \frac{1}{d} \mathcal{X}_{n,d} \mathcal{X}_{n,d}^{T}$ 的涨落。我们分析了 $\mathcal{W}_{n,d}$ 在两种情形下的分布极限行为:当 $\mathcal{X}_{n,d}$ 的元素为任意阶 Wiener 混沌的独立元素时,以及当元素部分相关且属于第二 Wiener 混沌时。在第一种情形中,我们证明(经适当归一化的)Wishart 矩阵依分布收敛于一个高斯矩阵;而在相关情形中,我们获得其依律收敛于一个对角非高斯矩阵。在两种情形中,我们通过 Malliavin 微积分与 Wiener 空间分析推导了 Wasserstein 距离下的收敛速率。