大维高斯相关 Wishart 矩阵的渐近行为

我们考虑高维 Wishart 矩阵 $d^{-1}\mathcal{X}_{n,d}\mathcal{X}_{n,d}^T$,其关联于一个大小为 $n\times d$ 的矩形随机矩阵 $\mathcal{X}_{n,d}$,其元素为联合高斯且相关的。尽管我们将考虑 $\mathcal{X}_{n,d}$ 元素间存在整体相关的情况,我们的主要关注点在于 $\mathcal{X}_{n,d}$ 的行是某个 $n$ 维平稳零均值高斯向量(相关函数为 $s$)的独立拷贝的情形。当 $s$ 属于 $\ell^{4/3}(\mathbb{Z})$ 时,我们证明只要 $d$ 远大于 $n^3$,$d^{-1}\mathcal{X}_{n,d}\mathcal{X}_{n,d}^T$ 的适当归一化在 Wasserstein 距离下接近于相应的高斯系综,从而恢复了 [3,9] 的主要结论并将其推广到更大一类矩阵。我们还研究了 $s$ 为参数 $H$ 的分数布朗噪声之相关函数的情形。该例子极为丰富,因为它根据 $H$ 相对于 $1/2$、$5/8$ 和 $3/4$ 的位置,产生了性质极为不同的多种现象。特别地,当 $H>3/4$ 时,我们的研究揭示了一个新的概率对象,我们决定称之为 Rosenblatt-Wishart 矩阵。我们的方法关键依赖于如下事实:我们所处理的 Wishart 矩阵的元素是二重 Wiener-Itô 积分,使得我们能够运用源自 Malliavin-Stein 方法及相关思想的多元界。为结束本文,我们分析了行独立性假设被放宽的情形,并考察了随机 $p$-张量($p\geq 3$)这一 Wishart 矩阵自然推广的设定。