非正则哈密顿系统的层级结构

拓扑约束在宏观系统中创造结构的自组织过程中起着关键作用。事实上，如果所有可能的自由度都在没有约束的情况下平等地实现，那么“均分”状态可能不具有特定的结构。流体湍流是一个典型的例子——虽然湍流混合似乎增加了熵，但可以出现多种持续的涡旋结构。在哈密顿形式体系中，一些拓扑约束由 Casimir 不变量表示（例如，流体或等离子体的螺旋度），然后有效相空间被约化到 Casimir 叶上。然而，一般的约束不一定是可积的，这排除了适当 Casimir 不变量的存在；环量就是这样一个不变量的例子。在这项工作中，我们制定了一种系统的方法，将哈密顿系统嵌入到扩展的相空间中；我们引入幻影场并扩展泊松代数。幻影场定义了一个新的 Casimir 不变量，即交叉螺旋度，它代表了在原相空间中不可积的拓扑约束。换个角度看，扩展系统的奇点可以视为一个子系统，在该子系统上幻影场（尽管从扩展系统来看它们是实际的场）消失，即原系统。这种退化泊松流形的层级关系使我们能够将奇点的“内部”视为一个子泊松流形。该理论可用于描述广泛类别的一般哈密顿系统中的分岔和不稳定性 [Yoshida & Morrison, Fluid Dyn. Res. 46 (2014), 031412]。