海森堡唯一对与波动方程

给定平面中的一条曲线 $\Gamma$ 和一个集合 $\Lambda$，海森堡唯一对 $(\Gamma, \Lambda)$ 的概念由 Hedenmalm 和 Motes-Rodr\'{\i}gez（Ann. of Math. 173(2),1507-1527, 2011, \cite{HM}）首次引入，作为傅里叶变换不确定性原理的一种变体。Hedenmalm 和 Motes-Rodr\'{\i}gez 的主要结果涉及双曲线 $\Gamma_{\epsilon}=\{(x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2,\, x_1x_2=\epsilon\}$ （$0\ne\epsilon\in \mathbb{R}$）和格点十字 $\Lambda_{\alpha\beta}=(\alpha\mathbb{Z}\times \{0\})\cup(\{0\}\times \beta\mathbb{Z})$ （$\alpha, \beta>0$），其中证明了 $(\Gamma_{\epsilon}, \Lambda_{\alpha\beta})$ 是海森堡唯一对当且仅当 $\alpha\beta\leq 1/|\epsilon|$。本文旨在研究端点情形（即 $\Gamma_{\epsilon}$ 中 $\epsilon=0$）并探讨如下问题：$\Lambda$（零集）上所需的最少信息量是多少才能构成海森堡唯一对？当 $\Lambda$ 包含于平面中两条曲线的并集中时，我们给出了基于某些动力系统条件的刻画。在高维情形中情况截然不同，我们获得了 $\Lambda$ 为两个超平面之并时的刻画。