双曲线的傅里叶非唯一集与 Perron-Frobenius 算子

设 $\Gamma$ 为平面中的一条光滑曲线或若干条互不相交的光滑曲线的有限并，$\Lambda$ 为平面的任意子集。令 $\mathcal X(\Gamma)$ 为平面中所有支撑在 $\Gamma$ 上且关于 $\Gamma$ 上的弧长测度绝对连续的有限复值 Borel 测度构成的空间。令 $\mathcal{AC}(\Gamma,\Lambda)=\{\mu\in \mathcal{X}(\Gamma) : \hat\mu|_{\Lambda}=0\}$，则我们证明如下结果：\begin{enumerate}[(a)] \item 对于 $\Lambda_\beta$ 的有理扰动，即 $\Lambda_\beta^\theta=\left((\mathbb Z+\{\theta\})\times\{0\}\right)\cup\left(\{0\}\times\beta\mathbb Z\right)$，其中 $\theta=1/{p},~\text{for some}~{p}\in\mathbb N$，且 $\beta$ 为正实数，只要 $\beta>p$，$\mathcal{AC}\left(\Gamma,\Lambda_\beta^\theta\right)$ 就是无限维的。\smallskip \item 对于 $\Lambda_\gamma$ 的有理扰动，即 $\Lambda_\gamma^\theta=\left((2\mathbb Z+\{2\theta\})\times\{0\}\right)\cup\left(\{0\} \times2\gamma\mathbb Z\right)$，其中 $\theta=1/q,~\text{for some}~q\in\mathbb N$，且 $\gamma$ 为正实数，只要 $\gamma>q$，$\mathcal{AC}\left(\Gamma_+,\Lambda_\gamma^\theta\right)$ 就是无限维的。\end{enumerate}