海森堡唯一性对的动力系统方法

设 $\Lambda$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中相交于原点的一组直线。对于 $\Gamma\subset\mathbb{R}^2$ 上的光滑曲线，我们用 $\mathcal{A}\mathcal{C}(\Gamma)$ 表示 $\Gamma$ 上关于弧长绝对连续的有限测度子集。对于此类 $\mu$，$\widehat{\mu}$ 表示 $\mu$ 的 Fourier 变换。遵循 Hedenmalm 和 Montes-Rodríguez 的定义，如果 $\mu\in\mathcal{A}\mathcal{C}(\Gamma)$ 满足 $\widehat{\mu}$ 在 $\Lambda$ 上为零则必有 $\mu=0$，我们称 $(\Gamma,\Lambda)$ 为海森堡唯一性对 (Heisenberg Uniqueness Pair)。本文旨在提供建立此性质的新工具。为此，我们将 $\widehat{\mu}$ 在 $\Lambda$ 上消失这一事实重述为由 $\Lambda$ 诱导的 $\mu$ 的不变性性质。这引导我们构建由 $\Lambda$ 生成的 $\Gamma$ 上的动力系统。对该动力系统的研究使我们能够确立 $(\Gamma,\Lambda)$ 是海森堡唯一性对。通过这种方法，我们既统一了已知情形（圆、抛物线、双曲线）的证明，又获得了许多新例子。该方法还使我们能更好地从几何直观上理解为何 $(\Gamma,\Lambda)$ 是海森堡唯一性对。